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ANÁLISIS MATEMÁTICO 66 UBA XXI
CÁTEDRA CABANA
3.8.
Estudiar continuidad y derivabilidad en $x_{0}$ de las siguientes funciones. Hacer un gráfico aproximado y verificar los resultados obtenidos.
e) $f(x)=\left\{\begin{array}{lll}x^{3}+1 & \text { si } & x \leq 1 \\ 2 x & \text { si } & x>1\end{array} ; x_{0}=1\right.$
e) $f(x)=\left\{\begin{array}{lll}x^{3}+1 & \text { si } & x \leq 1 \\ 2 x & \text { si } & x>1\end{array} ; x_{0}=1\right.$
Respuesta
Arrancamos estudiando $\textbf{continuidad}$ en \( x_0 = 1 \):
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Verificamos las tres condiciones necesarias para que \( f(x) \) sea continua en \( x = 1 \):
a) \( f(1) = 2 \)
b) Calculamos el límite de \( f(x) \) cuando \( x \) tiende a $1$. Por como está definida la función, tenemos que abrir el límite por derecha y por izquierda:
\( \lim_{{x \to 1^-}} x^3 + 1 = 2 \)
\( \lim_{{x \to 1^+}} 2x = 2 \)
Como los límites por derecha y por izquierda coinciden, entonces el límite existe y vale $2$.
c) El límite cuando $x$ tiende a $1$ existe y vale lo mismo que $f(1)$, por lo tanto, $f$ es continua en $x=1$
Estudiamos ahora $\textbf{derivabilidad}$ en \( x_0 = 1 \):
Tenemos que usar si o si el cociente incremental y derivar por definición para obtener $f'(1)$, ya que queremos calcular la derivada justo en el $x$ donde la función se parte.
\( f'(1) = \lim_{{h \to 0}} \frac{f(1 + h) - f(1)}{h} \)
Nuevamente, tenemos que abrir el límite por derecha y por izquierda:
Para el límite por izquierda cuando \( h \to 0^- \):
\( \lim_{{h \to 0^-}} \frac{f(1 + h) - f(1)}{h} = \lim_{{h \to 0^-}} \frac{(1 + h)^3 + 1 - 2}{h} = \lim_{{h \to 0^-}} \frac{(1 + h)^3 - 1}{h} \)
Acá hago un stop, la formula para expandir \( (1 + h)^3 \) nadie debería por qué acordársela... (la del cubo eh, cuando está elevado al cuadrado esa si!) Esta indeterminación "cero sobre cero" sale en dos segundos usando L'Hopital. Podés expandir ese cubo y sale (ni te quiero dejar la fórmula para no confundirte, porque primero que yo si la necesito usar la googleo, no es para recordar, y segundo que este límite en todas las galaxias uno lo resolvería usando L'Hopital y es una papa) Por ahora creanme que aplicando L'Hopital te queda:
$ \lim_{{h \to 0^-}} \frac{(1 + h)^3 - 1}{h} = \lim_{{h \to 0^-}} \frac{3(1 + h)^2}{1} = 3$
Para el límite por derecha cuando \( h \to 0^+ \):
\( \lim_{{h \to 0^+}} \frac{f(1 + h) - f(1)}{h} = \lim_{{h \to 0^+}} \frac{2(1 + h) - 2}{h} = \lim_{{h \to 0^+}} \frac{2 + 2h - 2}{h} = \lim_{{h \to 0^+}} \frac{2h}{h} = 2 \)
Los límites por derecha y por izquierda no coinciden, por lo tanto,
\( f'(1) = \lim_{{h \to 0}} \frac{f(1 + h) - f(1)}{h} = \text{No existe} \)
Esto significa que la función no es derivable en \( x = 1 \).
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agostina
6 de septiembre 9:52
Buen día profe, una consulta, si todavía no aprendimos a usar L’Hopital, el límite cuando tiende a izquierda me da otra cosa ya que desarrollo cubo de un binomio. Cómo podría resolver esto? Gracias
Flor
PROFE
6 de septiembre 18:52
$\lim_{h \to 0^-} \frac{(1 + h)^3 - 1}{h}$
Ahí si usas la fórmula del cubo de un binomio sale también, te queda:
$\lim_{h \to 0^-} \frac{1^3 + 3 \cdot 1^3 \cdot h + 3 \cdot 1 \cdot h^3 + h^3 - 1}{h}$
Reacomodamos un poco el numerador:
$\lim_{h \to 0^-} \frac{3h + 3h^3}{h}$
Saco factor común h en el numerador para que se me simplifique con la del denominador y ahi ya tomamos límite :)
$\lim_{h \to 0^-} \frac{h \cdot (3 + h^2)}{h} = \lim_{h \to 0^-} 3 + h^2 = 3$
Igualmente repito como decía en el ejercicio, ni te estreses con esto, confía en mi, seguí avanzando y arrancá con derivadas cuanto antes, que eso te va a salvar más de la mitad del parcial! Cualquier cosa avisameee
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